Exemples de suites définies à l'aide d'une relation de récurrence

Exemple 1
Soit \((u_n)\) la suite numérique définie par : \(\begin{cases}u_0 = 1 \\ ​\text{Pour tout entier naturel} \ n,​ u_{n+1} = 2u_n\end{cases}\)

On a alors :

• \(u_1=u_{\color{red}{0}+1}=2u_{\color{red}{0}}=2\times1=\color{teal}{2}\)
  
• \(u_2=u_{\color{red}{1}+1}=2u_{\color{red}{1}}=2\times\color{teal}{2}=\color{blue}{4}\)
  
• \(u_3=u_{\color{red}{2}+1}=2u_{\color{red}{2}}=2\times\color{blue}{4}=8\) et ainsi de suite.
  

On remarque alors que, si on souhaite calculer \(u_6\) à l'aide de la cette relation de récurrence, il faudrait calculer d'abord \(u_4\) puis \(u_5\).

Exemple 2
Soit \((v_n)\) la suite numérique définie par : \(\begin{cases}v_0 = 2 \\ ​\text{Pour tout entier naturel} \ n,​ v_{n+1} = 4v_n-3 \end{cases}\)

On a alors :

• \(v_1=v_{\color{red}{0}+1}=4v_{\color{red}{0}}-3=4\times2-3=\color{teal}{5}\)
  
• \(v_2=v_{\color{red}{1}+1}=4v_{\color{red}{1}}-3=4\times\color{teal}{5}-3=\color{blue}{17}\)
  
• \(v_3=v_{\color{red}{2}+1}=4v_{\color{red}{2}}-3=4\times\color{blue}{17}-3=65\)  et ainsi de suite.